Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen ratkaisut keväällä 2001

Ohessa kokeen tehtävät ratkaistuina Mathematicalla. Tarkoitus on antaa oikeat vastaukset ja näyttää, miten symbolista laskentaohjelmaa voisi käyttää. Ratkaisut eivät ota kantaa kokeen arvosteluun tai siihen, millainen esitys ylioppilaskokeessa vaaditaan.

Simo K. Kivelä

Tehtävä 1

Solve[1/x  -  x/(x  +  3)  ==  0, x]

Tehtävä 2

yhtalo =  
      y  -  8  ==  (D[x^3, x] /. x -> 2) (x  -  2) // 
        Simplify

leikkauspiste =  y /. First[Solve[yhtalo /. x -> 0, y]]

Kolmion pinta-ala näkyy helpoimmin kuviosta:

xlist =  Range[0, 2.2, 0.1]; 
    ylist = xlist^3;
Show[
      Graphics[{Line[Transpose[{xlist, ylist}]], 
          Line[{{0, -16}, {2, 8}}], 
Line[{{0, 8}, {2, 
                8}}]}], Axes -> True, AspectRatio -> 1.5]

ala =  2 (16  +  8)/2

Tehtävä 3

a =  {3/2, -2}

b =  5 (-a)/Sqrt[a . a]

loppupiste =  {4, 3}  +  b

Tehtävä 4

ehto =  ((100  -  5)/100)^k 2.3  ==  0.2

Solve[ehto, k]

Siis vähintään 48 vetoa.

Tehtävä 5

Sektorin säde:

sade =  Sqrt[(6/2)^2  +  16^2]

sade // N

Sektorin keskuskulma:

alpha =  2 Pi (6/2)/sade /Degree // N

Tehtävä 6

f =  5/(4  +  3 Cos[2 x])

Minimiarvo ja eräs minimikohta:

FindMinimum[f, {x, 1}]

Maksimiarvo ja eräs maksimikohta:

FindMinimum[-f, {x, 1}]

Muut minimi- ja maksimikohdat funktion cos(2  x) jakson mukaisesti π:n välein.

Tehtävä 7

<< Statistics`NormalDistribution`

jakauma =  NormalDistribution[204, 6]

pros200  =  100 CDF[jakauma, 200] // N

pros200210 =  
      100 (CDF[jakauma, 210]  -  CDF[jakauma, 200] // N)

CDF = cumulative distribution function = kertymäfunktio

Tehtävä 8

Suoran y  =  kx ja paraabelin leikkauspiste:

ratk1 =  Solve[{y == x^2, y == k x}, {x, y}]

piste1 =  {x, y} /. Last[ratk1]

Kohtisuoran suoran ja paraabelin leikkauspiste:

ratk2 =  Solve[{y == x^2, y == -x/k}, {x, y}]

piste2 =  {x, y} /. Last[ratk2]

Hypotenuusan vektorimuotoinen yhtälö parametrina t:

hypo =  
      piste1  +  t (piste2  -  piste1) // Simplify

Ratkaistaan hypotenuusan ja y-akselin leikkauspisteen y-koordinaatti sekä vastaava parametrin arvo:

Solve[{0, y} == hypo, {t, y}]

Siis piste on (0, 1), mikä ei riipu kulmakertoimesta k.

Tehtävä 9

Remove[f]

Määritellään funktio ja piirretään sen kuvaaja:

f[x_ /; x >= 1] =  Integrate[x - t, {t, 0, 1}]

f[x_ /; x <= 1] = 
      Integrate[x  -  t, {t, 0, x}]  +  
        Integrate[t  -  x, {t, x, 1}]

Plot[f[x], {x, 0, 2}]

Suurimman ja pienimmän arvon hakeminen:

derivaatta =  D[f[x], x]

nollakohta = FindRoot[derivaatta == 0, {x, 0, 2}]

f[x] /. nollakohta

f[0]

f[2]

Siis: max f  =  f(2)  =  3/2 ja min f  =  f(1/2)  =  1/4.

Tehtävä 10

Remove[f]

Ylen yksinkertaiset esimerkit ja varmistus, että ne täyttävät ehdot:

f[x_] := x

{f[-x]  ==  - f[x], f'[x] > 0}

g[x_] :=  - x

{g[-x] ==  -g[x], g'[x] > 0}

Todistus, jossa ei kyllä Mathematicaa tarvita:

Remove[f]

Solve[f[-x] == -f[x] /. x -> 0, f[0]]

Jatkuvuuden perusteella on (lim_(x → 0)) f(x)  =  f(0), mikä edellä olevan perusteella on = 0.

Tehtävä 11

Aluksi leikkauskuva pallon sisässä olevasta kuutiosta. Leikkaus on tehty pitkin kuution kahden vastakkaisen särmän kautta kulkevaa tasoa.

$TextStyle = {FontSize -> 16}

Show[Graphics[{Line[
                Table[{Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, 2 Pi, 2 Pi/72}]],
Line[{{Sqrt[2/3], 
                    Sqrt[1/3]}, {-Sqrt[2/3], 
                    Sqrt[1/3]}, 
{-Sqrt[2/3], -Sqrt[
                        1/3]}, {Sqrt[2/3], -Sqrt[1/3]}, {Sqrt[2/3], 
                    Sqrt[1/3]}}],
Line[{{Sqrt[2/3], 
                    Sqrt[1/3]}, {-Sqrt[2/3], -Sqrt[1/3]}}],
Text["2r", {0.1, -0.1}],Text["x", {-0.75, 0}],\(Text[\*""x\!\(\@2\)"", {0, 0.7}]\)}],AspectRatio -> Automatic]

Uloimman pallon säde siis = r, kuution särmä x ja ja kuution sivutahkon lävistäjä x (Sqrt[ 2]). Pythagoraan mukaan:

ratk =  
      Solve[x^2  +  (x Sqrt[2])^2  ==  (2 r)^2, 
        x]

sarma =  x /. ratk[[2]]

Kution sisällä olevan pallon säde:

sade =  sarma/2

Säteden suhde, pinta-alojen suhde tämän toisena potenssina ja tilavuuksien suhde kolmantena potenssina:

suhteet =  Table[(sade/r)^k, {k, 1, 3}]

Tehtävä 12

{7^^11, 7^^111, 7^^1111}

BaseForm[{11, 111, 1111}, 7]

Tehtävä 13

Rekursio täytyy onnistua näkemään annetuista termeistä:

x[1] := 1

x[n_] := Sqrt[2 x[n - 1]]

Lisää termejä voi rekursiivisen määrittelyn perusteella helposti laskea:

Table[x[k], {k, 1, 10}]

Arvataan näiden perusteella yleinen lauseke n:n funktiona:

y[n_] := 2^((2^(n - 1) - 1)/2^(n - 1))

Osoitetaan, että se antaa ensimmäisen termin oikein ja toteuttaa rekursiokaavan:

y[1] == 1

FullSimplify[y[n] == Sqrt[2 y[n - 1]], 
      Element[n, Integers]]

Määrätään raja-arvo:

Limit[y[n], n -> Infinity]

Tehtävä 14

Kompleksiluku ja sen liittoluku Mathematican antamana:

z =  x  +  I y

Conjugate[z] // ComplexExpand

Muodostetaan kaksi kompleksilukua ja pannaan Mathematica tarkistamaan kaavan voimassa olo:

(Subscript[z, 1])  =  (Subscript[x, 1])  +  I (Subscript[y, 1])

(Subscript[z, 2])  =  (Subscript[x, 2])  +  I (Subscript[y, 2])

Conjugate[(Subscript[z, 1]) (Subscript[z, 2])]  ==  Conjugate[(Subscript[z, 1])] Conjugate[(Subscript[z, 2])] // 
        ComplexExpand // FullSimplify

Tarkasteltavan yhtälön vasen puoli:

yhtalo =  
      z^2  +  Conjugate[z]  +  1  // ComplexExpand

Ladataan lisäpaketti ja määritellään x ja y reaalisiksi:

<< Algebra`ReIm`

x /: Im[x] =  0

y /: Im[y] = 0

ehdot =  {Re[yhtalo] == 0, Im[yhtalo] == 0}

Solve[ehdot, {x, y}]

Ratkaisuista vain kaksi viimeistä ovat reaalisia ja siis kelpaavat:

% // N

Tehtävä 15

diffyhtalo =  p'[t]  ==  -4 Sqrt[p[t]]

alkuehto =  p[0]  ==  1100

ratk =  DSolve[{diffyhtalo, alkuehto}, p[t], t]

Alkuarvoprobleemalle saadaan kaksi ratkaisua. Tutkitaan molemmat:

maara = p[t] /. ratk

ratk1 =  Solve[maara[[1]] == 0, t]

ratk2 =  Solve[maara[[2]] == 0, t]

aika =  t /. ratk1[[1]] // N

Siis 17 viikon kuluttua.